线性代数要旨(三)
之前学习线性代数也刷了不少遍了，最近又频繁用到，发现理解的还是不够深，把之前写的笔记翻出来汇总一下。
线性代数要旨（一）线性方程组/矩阵代数/行列式
线性代数要旨（二）向量空间/特征向量/正交性/最小二乘法/二次型
线性代数要旨（三）线代四大基本定理/可逆矩阵定理
线性代数小结 ‘线性代数及其应用笔记’
具体数学
线性代数四大基本定理 及其证明
线性代数中有个四大基本定理的说法，说是线代最为核心的内容，其中三个定理基本上是得到公认的，但是还有一个就众说纷纭，这里选择较广流传的版本，当然，每个定理都有许多的等价描述，这里也就挑我比较熟悉的了。
秩定理
对于 矩阵A，有
这个定理可以是说是最基础的了，也有把 替换为 的，该定理主要描述了向量空间的子空间的维度关系。（ch4的笔记心得拾遗里面有从变换角度出发的等价解释o）
证明： 这个证明简单说一下。对A进行行变换到阶梯形矩阵，前r行有主元列，我们知道dimColA就是r。那么剩下的非主元列共有n-r个，对应n-r个自由变量，恰好就是A所对应的齐次方程组的解空间的基了。
子空间正交关系
对于
该定理描述的是子空间的正交关系，即A的零空间是行空间的正交补。
证明：
奇异值分解
对于任意
其中
其中D是一个 的对角矩阵，r不超过m和n的最小值。U是一个 正交矩阵，V是一个 矩阵。
证明：
子空间基定理
这里主要探讨的是各个子空间的基。
设A的秩为r，将其进行奇异值分解 那么V的前r列为A的行空间的基，后面的列为A的解空间的基，U的前r列为A的列空间的基，后面的列为A的转置的解空间。
这个在这里就不证明了，主要还是运用到了上面那个定理的手法。
可逆矩阵定理
可逆矩阵可谓是贯穿整本‘线性代数及其应用’，有时我们可以将其作为贯穿全文的线索，将各个知识点连贯起来。
1. 是可逆矩阵。
2. 等价于n维单位矩阵。
3. 有n个主元位置。
4. 方程 仅有平凡解。
5. 的各列线性无关。
6. 线性变换 是双射。
7. 对于 中任意b，方程Ax=b至少有一个解。
8. 的各列生成 。
9. 线性变换 把 印射到 上。
10. 存在n维方阵C使CA=I。
11. 存在n维方阵使AD=I。
12. 是可逆矩阵.
13. Col A=
14. A的列向量构成 的一个基
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21. 0不是 的特征值
22.
23.
24.
25. 有n个非零的奇异值
